המודל הבינומי לתימחור אופציות

המודל הבינומי לתימחור אופציות הוא מודל פיננסי המספק שיטה נומרית להערכת אופציות. המודל הבינומי הוצע לראשונה ב-1979 על ידי הכלכלנים ג'ון קוקס, סטיבן רוס ומארק רובינשטיין. המודל הבינומי משמש להערכת אופציות בהם מודלים אחרים אינם מדויקים, למשל באופציות אמריקאיות, שניתן לממשן בכל נקודת זמן, ובאופציות על מניות המחלקות דיבידנד.

תיאור המודל

המודל הבינומי מתבסס על אסטרטגיה חסרת סיכון. בבסיס האסטרטגיה מונח העיקרון שבסוף התקופה מצבו יהיה זהה בשני מצבי הטבע, ובלתי תלוי במחיר המניה. ניטרולו של הסיכון בהשקעה מושג על ידי קנייה של נכס הבסיס וכתיבה (מכירה) של אופציות.

מודל בינומי חד תקופתי

בדוגמה שלהלן:

התוצאה הנדרשת - שווי האופציה להיום, בהסתמך על הנתונים הבאים:

• מחיר המניה הנוכחי הוא 50 שקל (50=S).
• קיימת אופציית Call עם תוספת מימוש של 50 שקל (50=K) לתקופה אחת (חודש אחד למשל).
• שער הריבית לחודש הוא 5%.

קיימים שני מצבי טבע (מכאן השם:בינומי) :

• מצב טבע 1: בסוף התקופה שער המניה יהיה 100 שקל

או

• מצב טבע 2: בסוף התקופה שער המניה יהיה 25 שקל.

שווי האופציה הנגזר בתום התקופה

• במצב טבע 1 שווי האופציה בסוף התקופה יהיה 50 שקל (מחזיק האופציה יוסיף 50 שקל (גובה תוספת המימוש) ויקבל מניה בשווי 100 שקל).
• במצב טבע 2 שווי האופציה יהיה אפס (לא כדאי לממשה).

מימוש אסטרטגיה חסרת סיכון

המשקיע "הבינומי" הדמיוני בונה לעצמו אסטרטגיית השקעה חסרת סיכון. בבסיס האסטרטגיה מונח העיקרון שבסוף התקופה מצבו יהיה זהה בשני מצבי הטבע, בלתי תלוי במחיר המניה. המשקיע נוקט באסטרטגיה הבאה: הוא מוכר ("כותב") 3 אופציות CALL, קונה 2 מניות, ולוקח הלוואה בסך 47.62 שקל.

תזרים המזומנים הנוכחי של המשקיע הוא 3C - 100 + 47.62

(C היא אופציית ה-CALL שמחירה הנוכחי לא ידוע)

תזרים המזומנים העתידי

• במצב טבע 1: עליו לקנות בחזרה 3 אופציות ששוויין 3*50=150 שקל, ולהחזיר הלוואה בשווי 50 שקל (47.62 ועוד ריבית של 5%). מנגד ברשותו שתי מניות בשווי 2*100=200 שקל. תזרים המזומנים הכולל שלו הוא אפס.
• במצב טבע 2: שווי האופציות הוא אפס. ברשותו 2 מניות בשווי 2*25=50 שקל, ועליו להחזיר הלוואה בגובה 50 שקלים. שוב, תזרים המזומנים הוא אפס.

בשני מצבי הטבע, נותר מצבו של המשקיע זהה, ללא תלות במחיר המניה. לכן זוהי אסטרטגיה חסרת סיכון. בשני המקרים תזרים המזומנים העתידי הוא אפס. מכאן ששווי תזרים המזומנים הנוכחי של המשקיע שווה אף הוא לאפס.

$3C-100+47.62=0$

מכאן נגזר שווי האופציה להיות $C=17.46$.

הערות:

• אם תזרים המזומנים הנוכחי הוא חיובי, כלומר מחיר האופציה בשוק גבוה יותר משוויה, (למשל 20 שקלים) כי אז קל להראות שכל משקיע רציונלי ינקוט באסטרטגיה זו, קרי ימכור אופציות ויקנה מניות. אם התזרים שלילי, כלומר מחיר האופציה בשוק נמוך יותר משוויה, כל משקיע ינקוט באסטרטגיה ההפוכה. ארביטראז' בשוק יביא לשינוי במחירים עד שהתזרים יתאפס.
• יחס הגידור (Hedge ratio) או יחס ניטרול הסיכון הוא היחס בין כמות המניות הנקנית לכמות האופציות הנמכרת, שהוא במקרה דנן ²/₃ (קניית שתי מניות וכתיבת שלוש אופציות).

פתירת המודל הבינומי באמצעות הסתברויות מותאמות לסיכון (Risk Neutral Probabilities)

לחלופין, ניתן גם לחשב את אופציית הרכש באמצעות שקלול שוויה של האופציה בכל מצב טבע באמצעות הסתברויות מסוימות (הנקראות הסתברויות מותאמות לסיכון) והיוון התוצאה לפי שער הריבית. נסביר זאת באמצעות דוגמה.

במספרי הדוגמה הקודמת,

• ניתן לראות כי במצב טבע Up שווי המניה הוא 200% לעומת שוויה הנוכחי (100 בעוד כתקופה לעומת 50 כיום). לכן, נסמן כי הפרמטר u=2.
• כמו כן, במצב טבע Down שווי המניה הוא 50% לעומת שוויה הנוכחי (25 בעוד כתקופה לעומת 50 כיום), ולכן נסמן את הפרמטר d=0.5.
• כמו כן, נסמן באות R את סכום המספר 1 ושיעור הריבית, כלומר 1.05 (כך הריבית מיוצגת ככופל על סכום הכסף): R=1+0.05=1.05.

ההסתברויות המותאמות לסיכון יסומנו באות p ויחושבו באופן הבא:

$p={\frac {R-d}{u-d}}={\frac {1.05-0.5}{2-0.5}}=0.367$

שווי האופציה יכול להיות מחושב כערך הנוכחי של שקלול שווי האופציה בכל מצב.

• במצב טבע Up שווי האופציה הוא 50 ש"ח (100-50=50) וההסתברות המותאמת לסיכון שמצב זה יקרה היא 0.367.
• במצב טבע Down שווי האופציה הוא 0 מכיוון שלא כדאי לממשה, וההסתברות המותאמת לסיכון שמצב זה יקרה היא 0.633.

שווי האופציה יחושב לכן כתוחלת שווי האופציה ביום הפקיעה, מחושבת על ידי הסתברויות מותאמות לסיכון ומהוונת להיום בשיעור הריבית:

$C={\frac {p\cdot C_{u}+(1-p)\cdot C_{d}}{R}}={\frac {0.367\times 50+0.633\times 0}{1.05}}=17.47$

השווי שהתקבל, באופן לא מפתיע, שווה בדיוק לשווי שהתקבל באמצעות שיטת ה-Replicating Portfolio. למעשה, מבחינה מתמטית שתי השיטות זהות לחלוטין ולכן התוצאה הזהה.

ההסתברויות האמיתיות לכל מצב טבע אינן ידועות, והמידע הזה גם לא נדרש לצורך חישוב שווי האופציה. למעשה, זהו אחד המאפיינים היפים ביותר של המודלים לתמחור אופציות.

המודל הבינומי הרב תקופתי

המודל הרב תקופתי מתייחס למספר תקופות, לכל תקופה שני מצבי טבע, כאשר העיקרון זהה: המשקיע הדמיוני נוקט באסטרטגיה חסרת סיכון. לכל תקופה נקבע ערך האופציה העתידי לכל מצב טבע אפשרי, וברקורסיה מחושב ערך האופציה בהווה.

הדגמה לעץ המודל הרב תקופתי

כדי להמחיש את המודל הרב תקופתי נהוג להשתמש בעץ המתאר את התפתחות המחירים לאורך התקופות. נסמן:

• S = שער המניה
• C = תמחור אופציית Call
• P = תמחור אופציית Put

$S_{0}={\frac {pS^{u}+(1-p)S^{d}}{(1+r)^{T}}}\$

• $S^{u}=uS_{0}\$
• $S^{d}=dS_{0}\$
• $p={\frac {(1+r)^{T}-d}{u-d}}\$
• $(1-p)={\frac {u-(1+r)^{T}}{u-d}}\$

$C_{0}={\frac {pC^{u}+(1-p)C^{d}}{(1+r)^{T}}}\$

$P_{0}={\frac {pP^{u}+(1-p)P^{d}}{(1+r)^{T}}}\$

כאשר $r$ הוא שיעור הריבית ו-$T\in \mathbb {N}$ הוא מספר התקופות.

הקשר בין המודל הבינומי ומודל בלק ושולס

מודל בלק ושולס מניח, במקום שני מצבי טבע ומספר תקופות סופי, את קיומה של התפלגות נורמלית של מחירי המניות וכן קיומו של מסחר רציף, כלומר אינסוף תקופות.

שימושים במודל הבינומי

בדף זה ובדף זה באתר הבורסה לניירות ערך בתל אביב

ראו גם

• מודל בלק ושולס